Cursos de Grado

Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología
Universidad Nacional de San Luis
FACULTAD DE CS. FISICO MAT. Y NAT.

ANEXO II

PROGRAMA DEL CURSO: ALGEBRA III
DEPARTAMENTO DE: MATEMATICAS
AREA: Matematicas	AÑO: 2001 (Id: 716)
Estado: Aprobado

**I - OFERTA ACADÉMICA**
CARRERAS PARA LAS QUE SE OFRECE EL MISMO CURSO	PLAN DE ESTUDIOS ORD. Nº	CRÉDITO HORARIO
		SEM.	TOTAL
PROF. DE ENSEÑANZA MEDIA Y SUP. EN MATEMATICA	36/93	10	140

**II - EQUIPO DOCENTE**
Funciones	Apellido y Nombre	Total hs en este curso	Cargo y Dedic.	Carácter
Responsable	CALI, ANA LUCIA	hs.	PROFESOR TITULAR EXC.	Efectivo

**III - CARACTERÍSTICAS DEL CURSO**
CREDITO HORARIO SEMANAL				MODALIDAD	REGIMEN
Teórico/ Práctico	Teóricas	Prácticas de Aula	Práct. de lab/ camp/ Resid/ PIP, etc.		1c
9 Hs.	Hs.	Hs.	Hs.	Asignatura	Otro:
					Duración: 15 semanas
					Período del 12/03/01 al 22/06/01

**IV.- FUNDAMENTACION**
La razón y motivo principal del programa se basa en los contenidos mínimos de la asignatura Algebra III del plan de estudios. El texto elegido para desarrollar el curso, contiene muchos ejemplos y ejercicios de dificultad variable. Algunos de los ejercicios propuestos son muy fáciles y otro muy importantes que pueden ser resueltos con todos los detalles dependiendo del nivel de los alumnos. Esta es una asignatura de tercer año de la Lic. y Prof. en Matemáticas. Como sólo tiene como requisito, tener aprobada Algebra II, que es una materia de primer año, muchos alumnos eligen cursarla, no teniendo aprobada ni siquiera cursada, por ejemplo Fundamentos.Estos alumnos no tienen la madurez que en términos generales adquieren los que ya cursaron otras asignaturas de matemáticas. Por eso se proponen ejercicios de distinto nivel y se procura para aprobar la asignatura exigir el término medio, a criterio del responsable de la materia.

**V.- OBJETIVOS**
El objetivo del curso es que al finalizar el mismo, el alumno debe saber como mínimo: 1.-Un ejemplo para cada estructura algebraica definida. 2.- Los tres conceptos básicos de la teoría de grupos: homomorfismos, subgrupos normales y grupos cocientes. 3.-Teoremas de homorfismos para grupos. 4.-.- Al menos un ejemplo de grupo cociente isomorfo a a) grupo de los reales respecto de la suma b) grupo de los reales positivos respecto a la multiplicación c) grupo de las raíces n-ésimas de la unidad con respecto a la multiplicación en . 5.- Sin la demostración, que todos los grupos abelianos finitos se conocen, en el sentido que dado un grupo abeliano de orden a qué tipo de grupo conocido puede ser isomorfo. 6.- Los tres conceptos fundamentales de anillos: homomorfismos, ideales , anillos cociente. 7.- Teoremas de homorfismos para anillos. 8.- Ideales de un cuerpo. 9.- Criterio de Eisestein. 10.- Ejemplos de ideales maximales e ideales primos en un dominio 11.- Al menos un ejemplo de anillo cociente isomorfo a: a) , cuerpo de los números complejos b) con primo y menor o igual a 19. 12.- Ejemplos de números reales algebraicos y sin demostración de números trascendentes 13.- Conceptos básicos sobre extensiones de cuerpos y sus aplicaciones respecto a la imposibilidad de los tres problemas clásicos: duplicación del cubo, trisección del ángulo y cuadratura del círculo Otros objetivos: i) Fomentar la intuición y la informalidad para luego resolver un problema con rigurosidad matemática ii) Instar al alumno para que estudie solo, otros temas fuera de cursos o seminarios oficiales.

**VI. - CONTENIDOS**
TEMA 1 PRELIMINARES El conjunto de aplicaciones biyectivas de en . Permutaciones. Números enteros. Principio de Buen Orden. Algoritmo de Euclides. Divisibilidad. Máximo Común Divisor. Primos relativos. Números primos. Factorización. Inducción Matemática. Números complejos. TEMA 2 GRUPOS Definición y ejemplos. Propiedades. Subgrupos. Relación de equvalencia y particiones. Teorema de Lagrange y consecuencias. Grupos cíclicos. Función de Euler. El grupo multiplicativo obtenido del grupo aditivo . Teoremas de Euler y Fermat. TEMA 3 MORFISMOS DE GRUPOS Y SUBGRUPOS NORMALES Definición y ejemplos. Monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos. Teorema de Cayley. Núcleo e imagen. Subgrupos normales. Grupo cociente. Teoremas de homorfismo. TEMA 4 ANILLOS Definición y ejemplos. Anillo conmutativo, dominios de integridad, anillo de división y cuerpo. Propiedades. Ideales. Morfismos y anillo cociente. Teoremas de homomorfismo. Ideales maximales y cuerpos. TEMA 5 ANILLO DE POLINOMIOS El anillo de polinomios ], con cuerpo. Grado de un polinomio. Teoremas relativos al grado de un producto y suma de polinomios. Algoritmo de la división. Dominios a ideales principales. Divisibilidad. Máximo común divisor de polinomios. Polinomios irreducibles e ideales primos. Factorización. Prueba que el anillo de polinomios ] es un dominio de factorización única. Polinomios sobre los racionales. Lema de Gauss. Criterio de Eisenstein. Cuerpo de cocientes de un dominio de integridad. TEMA 6 CUERPOS Definición y ejemplos. Característica de un cuerpo. Extensiones de cuerpos y grado de una extensión. Elementos algebraicos. Números complejos algebraicos. El cuerpo , el cuerpo cuando es algebraico sobre : propiedades. Cuerpos algebraicamente cerrados. TEMA 7 CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS Números reales construibles. Teoremas de la imposibilidad de los tres problemas clásicos: duplicación del cubo, trisección de un ángulo y cuadratura del círculo.

**VII. - PLAN DE TRABAJOS PRÁCTICOS**
Los trabajos prácticos, consistirán en la resolución de ejercicios. La mayoría de los ejercicios propuestos serán los ejercicios del libro de texto.

**VIII - RÉGIMEN DE APROBACIÓN**
Se tomarán 2 (dos) evaluaciones parciales escritas, con sus respectivas recuperaciones, y un parcial general. La regularidad se obtendrá aprobando en primera o segunda instancia los dos parciales o aprobando el parcial general Podrán rendir el parcial general, los alumnos que hayan asistido al 75% de las clases teóricas prácticas.

**IX.a - BIBLIOGRAFÍA BÁSICA**
Libro de texto: Herstein, I.N. "Álgebra Abstracta", Grupo Editor Iberoamérica. 1988

**IX b - BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA**
MacLane S. and Birkhoff G. "Algebra". The Macmillan Company, 1967 Birkhoff G. and Maclane S. "A survey of Modern Algebra",(3rded.) New York: Macmillan, 1965 Herstein, I.N. "Algebra Moderna", De. Trillas, 1970.

COMPLEMENTO DE DIVULGACION

**OBJETIVOS DEL CURSO**
El objetivo del curso es introducir a los alumnos al conocimiento de las estructuras algebraicas básicas fundamentales: grupos, anillos y cuerpos. Para cada uno de tales sistemas abstractos se considerarán determinadas consecuencias no triviales. Por ejemplo, grupo cociente y teorema fundamental de homomorfismo de grupos, anillo cociente y teorema fundamental de homomorfismo de anillos, extensiones de cuerpos y las aplicaciones a las construcciones geométricas de números construibles con regla y compás. Un objetivo fundamental es que el alumno trate de resolver los ejercicios propuestos, porque de esta manera pondrán a prueba su grado de asimilación de la asignatura. La resolución de los ejercicios será un medio para desarrollar técnicas matemáticas y los preparará para una mejor comprensión de los temas que siguen.

**PROGRAMA SINTETICO**
Números enteros. Buen Orden. Divisibilidad. Algoritmo de la división en los enteros. Grupos, subgrupos. Teorema de Lagrange. Grupos cíclicos.. Subgrupo normal y Grupo cociente. Teoremas de homomorfismo de grupos. Anillos y Cuerpos. Ideales primos y maximales de un dominio. Teoremas de homomorfismo para anillos. Anillo de polinomios.: Algoritmo de la división Extensiones de cuerpos. Números algebraicos. Números reales construibles. Teoremas de imposibilidad: duplicación de un cubo, trisección de un ángulo y cuadratura del círculo.

**IMPREVISTOS**